Archimedes grundlagde matematikken
- Først nu forstår forskerne Archimedes' sande genialitet.
12. juni 2008
En bønnebog fra middelalderen gik i 1998 på en auktion for over to millioner dollars. Den skyhøje pris skyldtes bogens skjulte indhold, for under de kristne bønner lå flere manuskripter af Archimedes. Her lagde han grunden til denmoderne videnskab, og teksternes betydning kan ikke overvurderes. Med bl.a. partikelacceleratorer læser forskerne nu de skjulte sider.

Af Rasmus Kragh Jakobsen

Det er næsten håbløst, tænker den unge museumsinspektør William Noel, da han sender brevet. Han beder en ukendt privatperson om lov til at låne en af historiens vigtigste bøger til en udstilling på The Walters Art Museum i Baltimore. Bogen har kort forinden erobret avisernes forsider, da en anonym køber betalte den svimlende sum af 2,2 millioner dollar for den på en Christies auktion i New York den 29. oktober 1998. Så meget desto mere chokeret bliver Noel, da hr. B, som den anonyme køber kaldes, ikke blot indvilliger i at mødes, men under frokosten på en god restaurant i Baltimore henkastet siger, at bogen allerede er i Noel’s varetægt. Hr. B har nemlig ladet den ligge i en taske på hans kontor! William priser sig lykkelig for, at han havde låst døren efter sig.
Da Noel endelig kommer tilbage på sit kontor, ser han for første gang genstanden, det hele drejer sig om: En lille brun bog – slidt og snavset. De stive sider er præget af mørke mugpletter, store vandskjolder og f lere har endda svedne kanter efter ild. Kristne bønner fra 1200-tallet løber op og ned af siderne, men selv om de historisk set er spændende, gemmer den egentlig skat sig under de middelalderlige skrifter. Under teksterne kan Noel enkelte steder skimte de lodrette linjer af et mere end 2.000 år gammelt græsk manuskript, hvis betydning ikke kan overvurderes.
Bogen er det eneste fysiske vidnesbyrd om antikkens største matematiske geni, Archimedes, der har lagt grunden til den moderne videnskab. Da Noel får bogen mellem hænderne, er den imidlertid så medtaget, at de uerstattelige manuskripter stort set er ulæselige. Men som Christies internationale bogdirektør, Felix de Marez Oyens, havde pointeret, er det muligt, at moderne teknologi kan udrette de nødvendige mirakler. Det er netop, hvad den anonyme hr. B har tænkt sig.

Rigmand vil restaurere bogen
William Noel står således overfor dagens andet chok. Ikke alene skal Walters Museet lave en udstilling om bogen, hr. B vil også finansiere en komplet restaurering og læsning af værket. Noel skal lede projektet, der vil samle de dygtigste eksperter i verden. Sådan begynder en fantastisk rejse, der ikke blot skal sikre Archimedes for eftertiden, men også afslører helt nye sider af hans genialitet.
Archimedes levede i det 3. århundrede f.Kr. i den græske by Syrakus på Sicilien. Han tilskrives en række opfindelser som taljen, vandpumpen “Archimedesskruen” og en række forsvarsværker, men det er matematikken, der for alvor har udødeliggjort ham. Som ingen anden skabte Archimedes matematik, der beskriver vores fysiske virkelighed – uanset om det drejer sig om stenkastende katapulter, rumraketter eller elektroner om atomkernen. Archimedes døde formentlig, da romerne indtog Syrakus i 212 f.Kr., og blev først genopdaget i renæssancen. Galileo Galilei var dybt taknemmelig og krediterer Archimedes’ principper i værket “To nye videnskaber” fra 1638. Siden har alle de store – fra Newton over Huygens til Descartes – generaliseret verden på en archimedisk måde.
Indtil den danske filolog professor Johan Ludvig Heiberg fandt bønnebogen i 1906, kendte man imidlertid kun to værker af Archimedes, kaldet codex A og B. Ingen af dem eksisterer længere og de kendes kun fra latinske oversættelser. Codex B blev sidst set i Vatikanets bibliotek i 1311, mens codex A ikke længere var hos den sidste kendte ejer, Ridolfo Pio, da han døde i 1564 i Italien. Det var disse kopier, der inspirerede renæssancens forskere og ansporede generationer af matematikere til at nå frem til Archimedes’ resultater. Archimedes blev ofte kritiseret for, at han ikke gav beviset, men blot henviste til en næsten magisk “metode”. Frem til 1906 var det et stort mysterium, hvad denne metode var.

Codex skjulte to ukendte tekster
Johan Ludvig Heiberg opdagede bogen på biblioteket i et kloster i Konstantinopel. Det gik hurtigt op for ham, at han sad med nogle hidtil ukendte manuskripter af Archimedes, og i perioden fra 1910 til 1915 dedikerede han al sin tid til bearbejdningen af Archimedes’ værker.
I alt fandt han syv manuskripter. Blandt dem var to hidtil ukendte tekster, “Om metoden” og “Om stomachion”. I den førstnævnte kommer Archimedes snublende tæt på den integralregning, som Newton og Leibniz udviklede 1800 år senere, og som er grundlaget for den moderne videnskab. Heibergs fund var intet mindre end en sensation, men trængslerne for bogen var ikke forbi.
I slutningen af 1. Verdenskrig gik Det Osmanniske Rige i opløsning og Atatürk grundlagde den moderne tyrkiske stat. I 1923 blev de sidste allierede smidt ud af Konstantinopel og to år efter fik Atatürk den græske Patriark af Konstantinopel sat af. Klosterets fremtid så dyster ud, og i al hemmelighed tømte præsterne biblioteket og smuglede bøgerne til Athen. Bønnebogen nåede imidlertid aldrig til Athen og ingen vidste, hvor den var, før den dukkede op hos en fransk familie og i 1998 endte på auktion. I mellemtiden var fire sider blevet dækket af falske guldmalerier, og bogen var i en langt værre forfatning end på Heibergs tid.
Bogens køber er stadig anonym, men han ønskede at finde ud af, om moderne teknologi kunne redde bogen og måske endda vriste nye hemmeligheder ud af den. Det kunne den i allerhøjeste grad. Hvor Heiberg, der var bevæbnet med et forstørrelsesglas og et indgående kendskab til Archimedes, kunne tyde omkring 80 procent af teksten, skulle det vise sig, at nutidens forskere kunne åbne helt op til 98 procent af indholdet.

Forskere læser bogen med lys
William Noel udstedte en konkurrence, der skulle lokke internationale eksperter til projektet, og fandt tre kapaciteter. Den ene, Roger Easton fra Rochester Institute of Technology, havde tidligere fundet skjulte budskaber i de berømte dødehavsruller. De to andre var Keith Knox fra Boeing Corporation og William A. Christens- Barry fra Equipoise Imaging.
De foreslog, at bruge multispectral imaging, msi, der er en satellitteknologi, som oprindeligt blev udviklet til at finde mineraler på fjerne planeter. I stedet brugte forskerne nu lysstrålerne til at trænge dybt ned i sidernes tekstur og afsløre usynlige blækkrystaller. Når lysspektret deles op i små bidder fra ultraviolet til infrarød, kan forskerne finde de bånd, hvor det oprindelige blæk står bedst i kontrast til siden. Som usynligt blæk fik eksperterne snart røde bogstaver og sirlige diagrammer til at træde frem i to kolonner af 35 linjer vinkelret på de overliggende tekster.
I takt med at siderne blev skannet og digitaliseret, sendte William Noel dem videre til historikeren Reviel Netz fra Stanford University, der med sit indgående kendskab til græsk matematik, var nærmest selvskreven til at tyde teksterne. Selvom han var fuld af beundring over Heibergs arbejde, viste det sig snart, at der var ting, Heiberg havde overset, og steder hvor han tog fejl.
Det vigtigste var diagrammerne. Netz priste sig lykkelig over at kunne se dem, idet Heiberg havde koncentreret sig om tekstens indhold og ikke havde tegnet diagrammerne af. Kort tid inden havde Reviel Netz vist, at græske matematikere brugte diagrammer på en anden måde end nutidens matematikere, og at de var en integreret del af logikken. Det store spørgsmål var, om det var de samme diagrammer, som Archimedes havde tegnet. Bogen lignede ikke en papyrusrulle, som Archimedes med sikkerhed må have skrevet på, og selve bogstaverne var lavet om til mindre pladskrævende typer. Ud fra teksttypen kunne forskerne konkludere, at manuskriptet blev skrevet i sidste halvdel af 900-tallet i Konstantinopel. Archimedes ville ikke have kunnet læse sin egen tekst, men havde diagrammerne også forandret sig?
Netz sammenlignede diagrammer på tværs af de tre værker og opdagede noget fantastisk. De var næsten ens, og det kunne kun betyde én ting: Diagrammerne var de samme som Archimedes tegnede på sandtavler for over 2000 år siden. De senere skrivere forstod formentlig ikke tekstens indhold og havde gjort sig ekstra umage med at kopiere diagrammerne.

Munke genbrugte papiret
Kort efter gjorde forskerne en anden vigtig opdagelse. På den allerførste side havde Heiberg overset en hel side med afhandlingen “Om flydende legemer”. Det er en velkendt tekst, men alligevel et væsentligt bidrag, da teksten i bogen var på originalsproget. Men der stod også noget andet – nemlig datoen, hvor skriveren var færdig med bønnebogen. Det var den 14. dag i april i året 6737, der efter vor tidsregning er den 14. april 1229. Brikkerne begyndte at falde på plads. Pergament var dyrt og omstændeligt at fremstille, og det var normalt at genbruge forældede bøger. Omkring 300 år efter Archimedes-teksterne blev kopieret i Konstantinopel, har munkene taget dem ned fra hylderne igen og ofret dem til fordel for en bønnebog.
Inden da er teksterne formentlig kommet til Konstantinopel fra Alexandria. Archimedes’ mesterværk “Om metoden” er i hvert fald skrevet som et personligt brev stilet til Eratosthenes i Alexandria. Han var ikke en hr. hvem som helst, men en af Antikkens største begavelser, som ledede et af oldtidens vigtigste forskningscentre – biblioteket i Alexandria.

Uendelighed bliver konkret
I 2001 gav de nye msi-skanninger Reviel Netz et virkelig stort gennembrud. I “Om metoden” viser Archimedes, hvordan man finder arealet af forskellige figurer ved at dele dem op i uendeligt mange små bidder og veje i forhold til en kendt figur. Dermed kom han dels uhyre tæt på integralregningen, dels demonstrerede han matematik anvendt på fysik og omvendt. Problemet var uendelighed.
Uendelighed er et utrolig vanskeligt begreb, som stadig volder matematikere problemer, fordi logikkens regler simpelt hen bryder sammen. Men uendelighed kan håndteres, hvis man etablerer forholdet mellem to talsæt, sådan at der for hvert tal i det ene sæt også er et i det andet. Det var præcis det, Netz opdagede, at Archimedes gjorde. Han regnede med faktisk uendelighed og fremførte argumenter, som matematikere ellers først fandt ud af i 1800-tallet. I 12 linjer i “Om Metoden” beviste Archimedes, at antallet af trekanter i en prisme er lig antallet af linjer i et rektangel, fordi der er en linje for hver trekant. Archimedes’ argument er det samme, som 2000 år senere førte til mængdelæren, der er grundlaget for moderne matematik. Det betød, at matematikkens historie skulle skrives om. Og så var der endda mere i vente.
I september 2003 sendte forretningsmanden Joe Marasco en pakke til Netz med en replika i rødt glas af en af Archimedes’ mest oversete værker, Stomachion. Det er et puslespil med 14 brikker af besynderligt formede tre-, fire og femkanter, som antikkens børn legede med.
Desværre var Stomachion den sidste afhandling i den bog, munkene sprættede op for at lave bønnebogen, og da de yderste sider som regel tager mest skade, må siderne have været i så dårlig stand, at de blev kasseret og ikke kom med i bønnebogen. I hvert fald er det kun indledningen, hvor Archimedes fortæller, hvad der er i vente, som er med. Uheldigvis gik de bagerste sider af bogen tabt i løbet af 1600-tallet – formentlig under en brand – og af alle bogens sider er siden med Stomachion den mest medtagede.
Heiberg gik ikke dybt ned i teksten, men konkluderede blot, at den handlede om puslespillet. På samme måde omtalte en arabisk tekst kort Stomachion. Indtil 2003 var der dog ingen, der troede, at man nogensinde ville finde ud af, hvad Archimedes skrev om. Nogle historikere gættede på, at det handlede om at samle forskellige figurer som elefanter, heste og soldater med brikkerne. Da dette ikke giver matematisk mening, har man aldrig tillagt Stomachion-siderne en særlig betydning. Det skulle ændre sig.
Da Reviel Netz kiggede ned i æsken, så han, at noget var galt. Stykkerne lå slet ikke som i Archimedes’ skitse. Først blev han skuffet, men pludselig indså han, at det måske netop var det, Archimedes’ værk handlede om. Puslespillet har f lere løsninger, og Archimedes beregnede hvor mange. Det gøs i Netz. Hvis det virkelig forholdt sig sådan, var det en sensation.

Matematikere løser puslespil
Den form for matematik kaldes nemlig kombinatorik, og hidtil har man ment, at den først blev opfundet fra spilteorier i 1600-tallet. Dens praktiske anvendelse er sandsynlighedsregning, der i dag er et uundværligt værktøj for forskere. Netz fik Noel og eksperterne til at skanne lige præcis den side og håbede, at han kunne læse mere af teksten. Et enkelt ord “plethos”, der betyder mangfoldig, tydede på, at man hidtil havde fejltolket værket. For en matematiker af Archimedes’ kaliber gav det helt sikkert mening, at beregne antallet af løsninger. Spørgsmålet var, om tallet var så stort, at det var interessant nok for Archimedes. Netz gav opgaven videre til nogle matematikere og i løbet af seks uger samt en weekend indespærret i et sommerhus nåede de frem til svaret: 17.152 løsninger. De brugte endda en metode, som Archimedes selv kunne have brugt 2000 år tidligere. En datalog, Bill Cutler, løste problemet ved at lave et computerprogram, der tegnede alle løsningerne. Netz var helt oppe i skyerne.
De sværeste sider havde museumsdirektør Noel dog stadig til gode. I bogen var fire sider dækket med guldmalerier. Konservatorerne nægtede at fjerne malerierne, og historikerne mente også, at de var en del af bogens historie. Noel udskrev derfor endnu en konkurrence. De tre vindere var enige om, at forsøge sig med elektromagnetisk røntgenstråling. Det gik som smurt. På blot ti timer fik forskerne en hel kolonne af teksten frem. Under falsknerierne gemte sig bl.a. en afrunding til historien. På en af siderne fandt forskerne kolofonen, og de kunne nu læse, hvem der havde skabt bogen og reddet Archimedes for eftertiden. Kolofonen lød: “Dette er skrevet af presbyteren Johannes Myronas hånd på den 14.ende dag i april, en lørdag, i året 6737”. Takket være Myronas arbejde i 1229 kunne forskere 800 år senere tilføje nye sider til historiens største matematiske begavelse, der var årtusinder foran sin tid. Hvorfor Archimedes ikke tog skridtet ind i fysikkens verden, vides ikke. Måske interesserede han sig kun for selve matematik. At vi så lever i en verden, hvor parabler, cirkler og uendeligheder er tæt forbundne med den fysiske virkelighed, betyder, at han også lagde fundamentet for al moderne naturvidenskab.


* Archimedes Codex Projektet

Matematikerens liv er en gåde
Det er ganske lidt, vi ved om Archimedes’ liv. Han levede på Sicilien i byen Syrakus, der dengang var en del af det græske rige. Archimedes har givetvis rejst til Alexandria i Egypten for at studere i et af oldtidens største biblioteker, hvor bl.a. Euklids “Elementerne” fandtes.
Under oldtidens pendant til 2. Verdenskrig – Den anden Puniske Krig mellem Rom og Karthago – støttede kong Hiero II den forkerte side, og Syrakus kom under belejring. I to år holdt byen stand, inden det lykkedes den romerske general Marcellus at indtage byen i 212 f.Kr. Her døde Archimedes. Det er cirka alt, vi ved om grækerens liv.
I et af sine værker, “Sandtælleren”, fortæller Archimedes, at hans far Pheidia beregnede Solens størrelse. Han må altså have været astronom, og det er sikkert her, sønnens interesse for matematik stammer fra. Navnet Pheidias var udbredt blandt kunstnerfamilier og kan meget vel afsløre, at farfaren var kunstner. Archimedes’ eget navn betyder “Princippets sind”og tyder på, at faderen bekendte sig til et helt nyt verdensbillede af et harmonisk ordnet og smukt kosmos snarere end de græske guder.
Det anføres ofte, at Archimedes blev født 287 f.Kr. og blev 75 år. Det kommer dog fra Johannes Tzetses, der levede i 1100-tallet og som havde sin viden fra et utroværdigt sladderdigt. En mere pålidelig kilde, Polybius, skriver, at han blev “gammel”, men om det lige var 75 år, vides ikke. Der er flere versioner af Archimedes død. En af dem går på, at general Marcellus’ soldater slog ham ihjel, fordi han ikke ville følge med, da Syrakus blev indtaget. “Forstyr ikke mine cirkler”, skal han have råbt.

Copyright © Rasmus Kragh Jakobsen og Illustreret Videnskab.